Coordinate Geomatry-MATH 4201- Math-1st Semester-Lecture
Topic: Coordinate Geomatry (MATH4201)
Subject: Matrix and Coordinate Geomatry
Subject Code: MATH 4201
Lecturer Name : Mohammad Abu Jabed (MAJ)
The Plane
- General equation of a plane is ax+by+cz+d=0
- General equation of a given plane that passes through a given point, a(x-x_1 )+b(y-y_1 )+c(z-z_1 )=0
Out of Lecture Sheet:
Introduction
These are notes to Math 461, a course in plane geometry I sometimes teach at the University of Wisconsin. Students who take this course have completed the calculus sequence and have thus seen a certain amount of analytic geometry. Many have taken (or take concurrently) the rst course in linear algebra. To make the course accessible to those not familiar with linear algebra, there are three appendices explaining matrix notation, determinants,
and the language of sets and transformations. My object is to explain that classical plane geometry is really a subset of algebra, i.e. every theorem in plane geometry can be formulated as a theorem which says that the solutions of one system of polynomial equations satisfy another system of polynomial equations. The upside of this is that the criteria for the correctness of proofs become clearer and less reliant on pictures.
Introduction
These are notes to Math 461, a course in plane geometry I sometimes teach at the University of Wisconsin. Students who take this course have completed the calculus sequence and have thus seen a certain amount of analytic geometry. Many have taken (or take concurrently) the rst course in linear algebra. To make the course accessible to those not familiar with linear algebra, there are three appendices explaining matrix notation, determinants,
and the language of sets and transformations. My object is to explain that classical plane geometry is really a subset of algebra, i.e. every theorem in plane geometry can be formulated as a theorem which says that the solutions of one system of polynomial equations satisfy another system of polynomial equations. The upside of this is that the criteria for the correctness of proofs become clearer and less reliant on pictures.
The downside is evident: algebra, especially complicated but elementary algebra, is not nearly so beautiful and compelling as geometry. Even the weakest students can appreciate geometric arguments and prove beautiful theorems on their own. For this reason the course also includes synthetic arguments as well. I have not reproduced these here but instead refer to the excellent texts of Isaacs [4] and Coxeter & Greitzer [3] as needed. It is my hope that the course as a whole conveys the fact that the foundations of geometry can be based on algebra, but that it is not always desirable to replace traditional (synthetic) forms of argument by algebraic arguments. The following quote of a quote which I got from page 31 of [3] should serve as a warning.
The following anecdote was related by E.T. Bell [1] page 48. Young Princess Elisabeth had successfully attacked a problem in elementary geometry using coordinates. As Bell states it, \The problem is a ne specimen of the sort that are not adapted to the crude brute force of elementary Cartesian geometry." Her teacher Ren e Descartes (who invented the coordinate method) said that \he would not undertake to carry out her solution : : : in a month."
The reduction of geometry to algebra requires the notion of a transformation group. The transformation group supplies two essential ingredients. First it is used to de ne the notion of equivalence in the geometry in question. For example, in Euclidean geometry, two triangles are congruent i there is distance preserving transformation carrying one to the other and they're similar i there is a similarity transformation carrying one to the other. Secondly,
in each kind of geometry there are normal form theorems which can be used to simplify coordinate proofs. For example, in a ne geometry every triangle is equivalent to the triangle whose vertices are A0 = (0; 0), B0 = (1; 0), C0 = (0; 1) (see Theorem 3.13) and in Euclidean geometry every triangle is congruent to the triangle whose vertices are of form A = (a; 0), B = (b; 0),C = (0; c) (see Corollary 4.14). This semester the o cial text is [3]. In past semesters I have used [4] and many of the exercises and some of the proofs in these notes have been taken from that source.
in each kind of geometry there are normal form theorems which can be used to simplify coordinate proofs. For example, in a ne geometry every triangle is equivalent to the triangle whose vertices are A0 = (0; 0), B0 = (1; 0), C0 = (0; 1) (see Theorem 3.13) and in Euclidean geometry every triangle is congruent to the triangle whose vertices are of form A = (a; 0), B = (b; 0),C = (0; c) (see Corollary 4.14). This semester the o cial text is [3]. In past semesters I have used [4] and many of the exercises and some of the proofs in these notes have been taken from that source.
Some Fallacies
Pictures sometimes lead to erroneous reasoning, especially if they are not carefully drawn. The three examples in this chapter illustrate this. I got them from [6]. See if you can nd the mistakes. Usually the mistake is a kind of sign error resulting from the fact that some point is drawn on the wrong side of some line.
Pictures sometimes lead to erroneous reasoning, especially if they are not carefully drawn. The three examples in this chapter illustrate this. I got them from [6]. See if you can nd the mistakes. Usually the mistake is a kind of sign error resulting from the fact that some point is drawn on the wrong side of some line.
Let ABCD be a square and E be a point with BC = BE. We will show thatㄥABE is a right angle. Take R to be the midpoint of DE, P to be the midpoint of DC, Q to be the midpoint of AB, and O to be the point where the lines PQ and the perpendicular bisector of DE intersect.(See Figure 2.1.) The triangles AQO and BQO are congruent since OQ is the perpendicular bisector of AB; it follows that AO = BO. The triangles DRO and ERO are congruent since RO is the perpendicular bisector of DE; it follows that DO = EO. Now DA = BE as ABCD is a square and E is a point with BC = BE. Hence the triangles OAD and OBE
are congruent because the corresponding sides are equal. It follows that ㄥABE = ㄥOBE -ㄥABO =ㄥOAD -ㄥBAO =ㄥAD
Every Triangle is Isosceles!?
Let ABC be a triangle; we will prove that AB = AC. Let O be the point where the perpendicular bisector of BC and the angle bisector at A intersect, D be the midpoint of BC, and R and Q be the feet of the perpendiculars from O to AB and AC respectively (see Figure 2.2.) The right triangles ODB and ODC are congruent since OD = OD and DB = DC. Hence
OB = OC. Also the right triangles AOR and AOQ are congruent since ㄥRAO = ㄥQAO (AO is the angle bisector) andㄥAOR = \AOQ (the angles of a triangle sum to 180 degrees) and AO is a common side. Hence OR = OQ. The right triangles BOR and COQ are congruent since we have proved OB = OC and OR = OQ. Hence RB = QC. Now AR = AQ (as AOR and AOQ are congruent) and RB = QC (as BOR and COQ are congruent) so AB = AR + RB = AQ + QC = AC as claimed
ভূমিকা
এই মাথ 461 নোট, সমতল জ্যামিতি মধ্যে একটি কোর্স আমি কখনও কখনও উইসকনসিন বিশ্ববিদ্যালয়ের পড়া। এই কোর্সটি গ্রহণকারী শিক্ষার্থীরা ক্যালকুলাস ক্রম সম্পন্ন করেছে এবং এইভাবে একটি বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি নির্দিষ্ট পরিমাণে দেখা যায়। অনেক লিনিয়ার বীজগাণিতায় রস্ট কোর্স (বা সমবেতভাবে) গ্রহণ করেছেন। রৈখিক বীজগাণির সাথে পরিচিত না এমন কোর্সগুলি অ্যাক্সেস করতে, সেখানে তিনটি অ্যাণ্ডেন্ডস রয়েছে যা ম্যাট্রিক্সের নির্দেশনা, ডিক্রিট্যান্টস,
এবং সেট এবং রূপান্তরের ভাষা। আমার বস্তুটি ব্যাখ্যা করতে হয় যে ক্লাসিক্যাল সমতল জ্যামিতিটি আসলেই বীজগাণিতার একটি উপসেট, উদাহরণস্বরূপ প্লেন জ্যামিতিটির প্রতিটি উপপাদ্য একটি উপপাদ্য হিসাবে প্রণয়ন করা যেতে পারে যা বলে যে বহুবিধ সমীকরণের এক সিস্টেমের সমাধান বহুবিধ সমীকরণগুলির অন্য একটি সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করে। এই উজ্জ্বলতা হল প্রমাণের সঠিকতা জন্য মানদণ্ড পরিষ্কার এবং ছবি উপর নির্ভরশীল কম।
নেতিবাচক দিক স্পষ্ট হয়: বীজগণিত, বিশেষত জটিল কিন্তু প্রাথমিক বীজগণিত, প্রায় এত সুন্দর এবং জ্যামিতি হিসাবে বাধ্যতামূলক নয়। এমনকি দুর্বলতম শিক্ষার্থীরা জ্যামিতিক আর্গুমেন্টের প্রশংসা করতে পারে এবং তাদের নিজস্ব সুন্দর থেরাপিগুলি প্রমাণ করতে পারে। এই কারণে কোর্স এছাড়াও সিন্থেটিক আর্গুমেন্ট এছাড়াও অন্তর্ভুক্ত আমি এখানে এই পুনরুত্পাদন না কিন্তু পরিবর্তে প্রয়োজন হিসাবে আইজ্যাক [4] এবং Coxeter এবং Greitzer [3] চমৎকার গ্রন্থে পড়ুন এটা আমার আশার একটি সম্পূর্ণ বিষয় যে, জ্যামিতির ফাউন্ডেশনগুলি বীজগাণিতার উপর ভিত্তি করে প্রমাণিত হতে পারে, কিন্তু বীজগাণিতিক আর্গুমেন্টগুলি দ্বারা ঐতিহ্যগত (সিন্থেটিক) আর্গুমেন্টগুলির পরিবর্তনের জন্য সবসময়ই উপযুক্ত নয়। 31 পৃষ্ঠার [3] থেকে প্রাপ্ত একটি উদ্ধৃতির নিম্নোক্ত উদ্ধৃতিটি একটি সতর্কবাণী হিসাবে পরিবেশন করা উচিত।
নিম্নলিখিত কাহিনী E.T. দ্বারা সম্পর্কিত ছিল বেল [1] পৃষ্ঠা 48. তরুণ রাজকুমারী এলিজাবেথ কোঅর্ডিনেট ব্যবহার করে প্রাথমিক জ্যামিতিতে সফলভাবে একটি সমস্যা আক্রমণ করেছে। বেলে বলে যে, \ সমস্যাটি এমন একটি নোটের নমুনা যা প্রাথমিক কার্টিসিয়ান জ্যামিতি এর অশোধিত প্রাণঘাতী বাহিনীতে অভিযোজিত নয়। "তার শিক্ষক রেন ই ডেসকার্টস (যিনি কোঅর্ডিনেট পদ্ধতি আবিষ্কার করেছিলেন) বলেছিলেন যে তিনি তার সমাধান বহন::: একটি মাসে। "
বীজগাণিতে জ্যামিতি হ্রাসের জন্য রূপান্তর গ্রুপের ধারণা প্রয়োজন। রূপান্তর গ্রুপ দুটি অপরিহার্য উপাদান সরবরাহ করে। প্রথমত এটি জ্যামিতিতে প্রশ্নের সমতুল্য ধারণাটি ব্যবহার করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, দুটি ত্রিভুজ সংকীর্ণ হয় এবং অন্যটি একটিকে বহন করে ট্রান্সফর্মেশনকে রক্ষা করার দূরত্ব আছে এবং একই সাথে একই রকমের রূপান্তর অন্য একটিকে বহন করে। দ্বিতীয়ত,
প্রত্যেকটি জ্যামিতির মধ্যে স্বাভাবিক ফর্ম থিওরেমগুলি রয়েছে যা কোঅর্ডিনেট প্রমাণ সহজীকরণ করতে ব্যবহার করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, একটি নেগ্র জ্যামিতি মধ্যে প্রতিটি ত্রিভূজ ত্রিভুজের সমতুল্য যার যার অক্ষর A0 = (0; 0), B0 = (1; 0), C0 = (0; 1) (থিওরেম 3.13 দেখুন) এবং ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতিতে প্রতি ত্রিভুজটি ত্রিভূজের সমান্তরাল, যার কোণগুলি A = (a; 0), B = (b; 0), C = (0; c) (অনুমান 4.14 দেখুন)। এই সেমিস্টারে ও cial টেক্সট হয় [3]। অতীতের সেমিস্টারগুলিতে আমি [4] ব্যবহার করেছি এবং অনেকগুলি অনুশীলনী এবং এই নোটগুলির কিছু প্রমাণ এই উৎস থেকে নেওয়া হয়েছে।
কিছু ভ্রষ্টতা
ছবিগুলি কখনও ভুল যুক্তি হতে পারে, বিশেষত যদি তারা সাবধানে টানা হয় না। এই অধ্যায়ে তিনটি উদাহরণ এই ব্যাখ্যা। আমি তাদের থেকে [6] পেয়েছিলাম। দেখুন যদি আপনি ভুলগুলি nd করতে পারেন সাধারণত ভুল একটি সাইন ত্রুটির ফলে কিছু বিন্দু কিছু লাইন ভুল দিকে আঁকা হয় যে আসলে থেকে ফলাফল।
প্রতিটি কোণ একটি ডান কোণ আছে !?
এবিসিডি একটি বর্গ এবং ই ইসি = বি। আমরা দেখব যে ㄥ ABE একটি সঠিক কোণ। ডি এর মধ্যপন্থী হতে পি, পি ডিসি মিডপয়েন্ট হতে, এবি এর মধ্যপন্থী হতে Q, এবং O এর অবস্থান হতে পারে যেখানে লাইন PQ এবং DE এর উল্লম্ব দ্বিখণ্ডকটি রয়েছে। (চিত্র 2.1 দেখুন।) ত্রিভুজ AQO এবং BQO সমান্তরাল, কারণ OQ হল AB এর উলম্ব দ্বিখন্ডক; এটি অনুসরণ করে AO = BO ত্রিভুজ DRO এবং ERO সমরূপ হয় কারণ RO হল ঋজু বিভাজক DE; এটি DO = EO অনুসরণ করে এখন DA = BE ABCD হিসাবে বর্গ এবং E হল BC = BE এর সাথে একটি বিন্দু। অতএব ত্রিভুজ OAD এবং ওবিই
অনুরূপ কারণ সমান দিক সমান হয়। এটি নিম্নরূপ যে ㄥ ABE = ㄥ ওবিই - ㄥ ABO = ㄥ OAD - ㄥ BAO = ㄥ AD
প্রতিটি ত্রিভুজ হল ইসসেস!
যাক এবিসি একটি ত্রিভুজ; আমরা প্রমাণ করব যে AB = AC হে বি বিন্দুর বিন্দু বিভাজক এবং একটি বিচ্ছিন্ন কোণ এ কোণ দ্বিখণ্ডক, বি BC এর মধ্যপন্থী হতে পারে এবং R এবং Q যথাক্রমে O থেকে AB এবং AC তে উল্লম্ব পাদদেশ হতে পারে। চিত্র ২ দেখুন। ডান ত্রিভুজ ODB এবং ODC হল OD = OD এবং DB = DC থেকে সমান। অত: পর
ওবি = ওসি এছাড়াও ডান ত্রিভুজ AOR এবং AOQ একক কারণ ㄥ RAO = ㄥ QAO (AO হল কোণ বিভাজক) এবং ㄥ AOR = \ AOQ (180 ডিগ্রি একটি ত্রিভুজ সমষ্টি কোণ) এবং AO একটি সাধারণ পার্শ্ব। তাই OR = OQ আমরা OB = OC এবং OR = OQ প্রমাণ করেছি যেহেতু ডান ত্রিভুজ BOR এবং COQ সমরূপ। অতএব RB = QC এখন এআর = AQ (AOR এবং AOQ সমান্তরাল হিসাবে) এবং আরবি = QC (BOR এবং COQ সমরূপ) সুতরাং AB = AR + RB = AQ + QC = AC হিসাবে দাবি করা হয়েছে
No comments